Variables aleatorias discretas «Cheat Sheet»

Fuente: https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/random-variables-ap

Valor esperado en una variable aleatoria discreta es el resultado promedio a largo plazo. Donde sumamos los productos del valor por la probabilidad de cada evento.

$$E(X)=\mu_x=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n$$

$$=\sum x_i p_i$$

Pepe vende pollos a l’ast en una bodega, este registra el número de pollos que vende cada día. En la siguiente tabla mostramos la distribución de probabilidad de P=pollos vendidos en un día seleccionado aleatoriamente.

P=#pollos vendidos0102030
Probabilidad0.30.50.150.05

Calcular la media de P.

$$\mu_P=(0·0.3)+(10·0.5)+(20·0.15)+(30·0.05)=9.5\space pollos$$

La desviación estandar nos indica cuanto varía cada resultado de la media.

$$Var(X)=\sigma ^2_X$$

$$=(x_1-\mu_x)^2p_1+(x_2-\mu_x)^2p_2+…+(x_n-\mu_x)^2p_n$$

$$=\sum (x_i- \mu _x)^2 p_i$$

Vamos a calcular la desviación estándar de los pollos

$$\sigma_P = \sqrt{(0-9.5)^2·0.3+(10-9.5)^2·0.5+(20-9.5)^2·0.15+(30-9.5)^2·0.05 }= \sqrt{64.75} \approx 8.04$$

Calcular las probabilidades a partir de curvas de densidad:

$$Z = \frac {(X-\mu)}{\sigma}$$

Para obtener el valor estadístico, aplicar tabla Z.

Combinar variables aleatorias normalizadas

Si tenemos dos variables que son idependientes entre ellas, entonces podemos combinarlas para crear nuevas distribuciones que combinadas facilitan el cálculo estadístico. Vamos al ejemplo,

MediaVarianza
Suma: $$T=X+YT$$$$\mu_T=\mu_X + \mu_Y​$$$$\sigma^2_T=\sigma^2_X + \sigma^2_Y$$​
Diferencia: $$T=X-YT$$$$\mu_T=\mu_X – \mu_Y​$$$$\sigma^2_T=\sigma^2_X + \sigma^2_Y$$​

Manolo vende pepinos en paquetes de 4. Las masas individuales de cada pepino son normalizadas con una media de 175g, y una desviación estandar de 15g. Asumiendo que los pesos de los pepinos son independientes entre ellos.

Siendo T = a 4 pepinos seleccionados aleatoriamente.

Encuentra la probabilidad que el peso total de los pepinos sea superior a 685g.

$$P(T<685)≈$$

Calculamos la media de T que es el peso de 4 pepinos de 175g = 700.

Calculamos la desviación estándard T, que será $$\sqrt{15^2+15^2+15^2+15^2} = 30$$

Calculamos Z, $$Z= \frac{(685-700)}{30}=-0,5$$

Buscamos valor en la tabla Z y nos da 0.30854, que es un 30,80% de probabilidades.

Este ejemplo recoge el caso cuando la densidad es «< que». Cuando la densidad es «> que», hemos de restar 1, cuando está entre dos valores, hemos de calcular la diferencia.

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