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Categoría: Estadística

  • Como usar boxplot para mejorar en la gestión de alertas de un servidor

    Un boxplot, también conocido como diagrama de caja y bigotes, es una representación gráfica que permite visualizar la distribución y la dispersión de un conjunto de datos. Proporciona una visión general de la mediana, los cuartiles y los valores atípicos (outliers) de los datos.

    Antes de entender un boxplot, es importante entender los conceptos de cuartiles y mediana:

    • Mediana (Q2 / 50th Percentile): Es el valor que divide el conjunto de datos en dos partes iguales, de modo que la mitad de los valores son menores y la mitad son mayores.
    • Cuartiles: Dividen los datos en cuatro partes iguales.
      • Primer cuartil (Q1 / 25th Percentile): El 25% de los datos son menores que este valor.
      • Tercer cuartil (Q3 / 75th Percentile): El 75% de los datos son menores que este valor.
    • Rango intercuartílico (IQR): Es la distancia entre el primer y el tercer cuartil (Q3 – Q1).
    • Valores Atípicos (Outliers): Son valores que se desvían significativamente del resto de los datos. Se suelen definir como aquellos valores que están por debajo de Q1 – 1.5 * IQR o por encima de Q3 + 1.5 * IQR.

    El gráfico que ves en el boxplot a partir de un conjunto de datos aleatorios. Vamos a desglosar los componentes de este boxplot:

    • Caja Central: El cuerpo de la caja del boxplot representa el rango intercuartílico (IQR), que es la distancia entre el primer y el tercer cuartil. En este caso, la caja contiene el 50% central de los datos.
    • Línea dentro de la Caja: La línea que atraviesa la caja indica la mediana de los datos, el punto medio del conjunto de datos.
    • Notch: La muesca alrededor de la mediana proporciona una visualización de la variabilidad de la mediana; si las muescas de dos boxplots no se superponen, esto sugiere que las medianas son significativamente diferentes.
    • Bigotes: Los extremos de los bigotes representan el valor máximo y mínimo dentro del rango aceptable, que se calcula como 1.5 veces el IQR desde el primer y tercer cuartil. En este gráfico, los bigotes se extienden hasta el punto más alto y más bajo que no se considera un valor atípico.
    • Puntos Externos: Los puntos que caen fuera de los bigotes son los valores atípicos o outliers. Estos son los valores que difieren significativamente de la mayoría de los datos y podrían ser indicativos de una variabilidad especial o errores de medición.

    Para entender cómo se distribuyen estos datos, los hemos ordenado y calculado los cuartiles, así como la mediana:

    • El primer cuartil (Q1) es 22, lo que significa que el 25% de los datos son menores o iguales a 22.
    • La mediana (Q2) es 50, lo que indica que la mitad de los datos son menores o iguales a 50 y la otra mitad son mayores.
    • El tercer cuartil (Q3) es aproximadamente 79.25, por lo que el 75% de los datos son menores o iguales a 79.25.

    Ahora, vamos a presentar los datos ordenados visualmente para mostrar la mediana y los cuartiles con marcas. Esto ayudará a visualizar cómo los datos se agrupan alrededor de estos puntos estadísticos importantes.​

    La visualización que ves arriba es un gráfico de los 100 valores enteros aleatorios que hemos generado, dispuestos en orden ascendente. Las líneas verticales representan:

    • Línea Verde: Primer cuartil (Q1), donde el 25% de los datos son menores o iguales a este valor.
    • Línea Roja: Mediana (Q2), que divide el conjunto de datos por la mitad.
    • Línea Morada: Tercer cuartil (Q3), donde el 75% de los datos son menores o iguales a este valor.

    La disposición de las marcas azules representa la distribución de los valores individuales. Puedes ver cómo los datos se agrupan más densamente alrededor de la mediana, y cómo se dispersan hacia los extremos, lo cual es típico en una distribución normal. Este gráfico de eventos proporciona una forma sencilla de visualizar dónde se concentran los datos y cómo se comparan con los puntos estadísticos clave como la mediana y los cuartiles.

    Un ejemplo práctico

    Vamos a simular el análisis de las alertas en la gestión de servidores web basados en LAMP (Linux, Apache, MySQL, PHP) En un entorno de operaciones el tiempo de resolución de alertas es un indicador clave de rendimiento (KPI). Para simular datos que reflejen esta situación, vamos a generar un conjunto de datos aleatorios siguiendo un patrón determinado.

    El boxplot que se muestra representa el tiempo de resolución de alertas en minutos para un servicio de operaciones. Si fueras el responsable de operaciones, aquí hay algunos puntos clave que puedes deducir del gráfico y las estadísticas descriptivas:

    • Mínimo (Min): La alerta más rápida se resolvió en aproximadamente 1.34 minutos, lo cual es excelente y sugiere que algunos sistemas o protocolos están funcionando muy eficientemente.
    • Primer Cuartil (Q1): El 25% de las alertas se resolvieron en 5.02 minutos o menos. Esto indica que una cuarta parte de las alertas se manejan bastante rápido.
    • Mediana: La mediana del tiempo de resolución es de aproximadamente 7.97 minutos. Esto significa que la mitad de las alertas se cierran en menos de 8 minutos, lo cual es un buen rendimiento. Sin embargo, esta cifra también indica que la otra mitad de las alertas toma más tiempo, lo cual es un área de posible mejora.
    • Tercer Cuartil (Q3): El 75% de las alertas se resuelven en aproximadamente 12.65 minutos. Aquí se puede observar que el tiempo de resolución comienza a aumentar, lo que podría indicar casos más complejos o problemas en la eficiencia.
    • Máximo (Max): Algunas alertas toman hasta 53.20 minutos para resolverse, lo que es significativamente más alto que la mayoría de los otros tiempos de resolución. Estos son casos atípicos y deben investigarse para entender las causas de tales retrasos.
    • Media (Mean): El tiempo medio de resolución es de 10.65 minutos, lo cual está influenciado por los valores extremos en la cola derecha de la distribución.
    • Desviación Estándar (Std Dev): Una desviación estándar de 9.63 minutos muestra una variabilidad considerable en el tiempo de resolución de las alertas.

    Continuando con la simulación en un entorno operativo que gestiona alertas en una plataforma LAMP (Linux, Apache, MySQL, PHP), podemos clasificar las alertas resueltas en diferentes categorías basadas en su complejidad y el tiempo de resolución:

    1. Resoluciones Rápidas (< 5 minutos): Estas alertas pueden incluir problemas como reinicios de servicios, errores temporales de red que se resuelven automáticamente o pequeños cambios de configuración. Estos casos son generalmente rutinarios y pueden ser manejados rápidamente por el primer nivel de soporte.
    2. Resoluciones Moderadas (5-15 minutos): Este grupo podría estar compuesto por problemas como la degradación del rendimiento de la base de datos, errores de scripts PHP o problemas de autenticación. Estos problemas son más complejos y pueden requerir la intervención de un técnico más experimentado, pero aún se resuelven en un tiempo razonable.
    3. Resoluciones Lentas (> 15 minutos, < 30 minutos): Aquí podríamos tener problemas como la configuración errónea de un servidor virtual en Apache, la resolución de dependencias en aplicaciones PHP o la optimización de consultas en MySQL. Estos casos pueden necesitar una investigación detallada y un enfoque sistemático para resolverlos.
    4. Resoluciones Complejas (> 30 minutos): Estas alertas son las más críticas y podrían ser causadas por fallos graves del sistema, como un servidor Linux que se cuelga, un fallo del sistema de archivos o problemas de corrupción de datos en MySQL. Estas situaciones podrían requerir una respuesta de emergencia, posiblemente con múltiples miembros del equipo trabajando juntos, y podrían incluir la participación de desarrolladores, DBAs y administradores de sistemas.

    Con esta clasificación y el boxplot puedes clasificar la cantidad de alertas y la velocidad de resolución que ha tenido el servicio de resolución de alertas.

  • Inferencia para datos cuantitativos: pendientes

    Esta entrada es un resumen del curso de Khan Academy «AP statistics».

    Condiciones para inferir datos en rectas de pendiente:

    • Linear: La relación ha de ser lineal entre los valores X e Y (correlación).
    • Independence: Los datos han de ser independientes, es decir que sean muestras de samples diferentes, o que no se supere el 10% del total de la población.
    • Normal: Los datos han de estar normalizados, tanto para los valores X como los valores Y.
    • Equal Variance: Han de tener una varianza similar (o también desviación estándar).
    • Random: Valores escogidos al azar.

    Los grados de libertad para los coeficientes de regresión se calculan usando la tabla ANOVA donde los grados de libertad son n-(k+1), donde k es el número de variables independientes. Entonces, para un análisis de regresión simple, una variable independiente k=1 y los grados de libertad son n-2, n-(1+1).

    Intervalos de confianza para pendientes

    La fórmula para el cálculo de intervalo de confianza es,

    Coef \pm t \cdot SE Coef

    Ejemplo,

    Pepona tomó una muestra aleatoria de 20 equipos de fútbol en toda Europa y realizó un seguimiento de la cantidad promedio de goles que marcó cada equipo por partido, y cuántos partidos en total ganó cada equipo, en 2014 - 2015. Aquí está la salida de la computadora de un análisis de regresión de mínimos cuadrados en su muestra:

    Asumiendo que todas las condiciones se cumplen, calcula el intervalo de confianza porcentual del 99% para la pendiente de la línea de regresión de mínimos cuadrados.

    Cogemos el valor Coef y SE_Coef de la variable independiente, Goals. Y aplicamos la fórmula:

    14.02 \pm t \cdot 1.15

    donde t es con DF (18, recuerda 20-2) = 2.878

    14.02 \pm 2.878 \cdot 1.15

    14.02 \pm 1.728

    CI = (15.748, 12.291)

    Hipótesis test para pendientes

    Cálculo de la estadística t para la pendiente de la línea de regresión, para comprobar que la pendiente de la población es 0.

    H_o \quad\beta=0

    H_a \quad\beta>0

    t=\frac{Coef_b}{SE_b}

  • Inferencia para datos cuantitativos: Medias

    Esta entrada de blog es un resumen del curso en Khan Academy.

    Confidence Interval

    La fórmula básica para el cálculo del intérvalo de confianza es:

    \overline{x} + t · \frac{S}{\sqrt{n}}

    Donde

    • \overline{x} la media de la muestra
    • S es la desviación típica,
    • n el número de elementos de la muestra,
    • A diferencia que en los datos categóricos, para en encontrar el intérvalo de confianza en datos cuantitativos usamos el valor «t» en vez del valor «Z».

    Condiciones para inferir en medias

    Las condiciones que necesitamos para la inferencia sobre una media son

    • Aleatorio: Se debe utilizar una muestra aleatoria o un experimento aleatorio para obtener los datos.
    • Normal: La distribución muestral de \overline{x} (la media de la muestra) tiene que ser aproximadamente normal. Esto es cierto si nuestra población madre es normal o si nuestra muestra es razonablemente grande (n \geq 30) .
    • Independiente: Las observaciones individuales deben ser independientes. Si el muestreo es sin reemplazo, el tamaño de nuestra muestra no debe ser superior al 10%, por ciento de la población.

    Condiciones para encontrar el valor T

    El valor t se basa en dos aspectos:

    • Degrees of freedom (df) o grados de libertard: Que es igual a n-1.
    • Probabilidad del intervalo de confianza: (recuerda que si es por ejemplo 95%, será 0.975 debido a que el valor t lo obtenemos solo sobre un lado del gráfico.
    Puedes descargar un documento excel para el cálculo del valor t, introduciendo los valores necesarios.Descarga

    Intervalo de confianza para una media con datos emparejados (paired t-test)

    • Realizar la diferencia entre el primer valor y el segundo por cada elemento de la muestra.
    • Chequear que se cumplen las condiciones para inferir
      • Aleatorio
      • Normal o n \geq 30
      • Independiente (muestra no debe ser superior al 10%)
    • Calcular la media \overline{x}_{diff} y desviación estándar S_{diff} de la diferencia de los valores.
    • Aplicar la fórmula del intervalo de confianza \overline{x} + t · \frac{S}{\sqrt{n}}

    Ejemplo de cálculo de la estadística t para una prueba sobre una media

    Rory sospecha que los profesores de su distrito escolar tienen menos de cinco años <5de experiencia por término medio. Decide poner a prueba su hipótesis nula de que la media de años de experiencia es de cinco años y su hipótesis alternativa de que la verdadera media de años de experiencia es inferior a cinco años, utilizando una muestra de 25 profesores.

    • H_o: \mu = 5
    • H_a:\mu < 5

    La media de la muestra es de cuatro años y la desviación típica de la muestra es de dos años.

    • \overline{x} = 4
    • S_x=2
    • n=25

    Rory quiere utilizar estos datos de la muestra para realizar una prueba t sobre la media. Suponga que se cumplen todas las condiciones para la inferencia. Calcule el estadístico de la prueba de Rory.

    La fórmula para calcular el valor

        \[t = \frac{\overline{x}-\mu_o}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}}\]

    Nota: Usaremos el valor Z si conocemos la desviación estándar de toda la población, Z = \frac{\overline{x}-\mu_o}{\sigma_{\overline{x}}}, donde \sigma_{\overline{x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

    Procedemos a realizar los cálculos y obtenemos que

        \[t = \frac{4-5}{\frac{2}{\sqrt{25}}} = -2.5\]

    Usar excel para obtener el valor p-value

    Sobre el ejemplo anterior, vamos a obtener el valor p que nos servirá para determinar si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula.

    • Valor t, es el valor obtenido en la formula t.
    • df, grados de libertad que seran n-1

    Valor obtenido de 0.0098,

    Comparación del valor P del estadístico t con el nivel de significación

    Llegados a este punto, vamos a determinar un valor de significancia de \alpha=0.05 (un 95% de certeza), dado que

    • H_o: \mu = 5
    • H_a:\mu < 5

    Formulamos la hipótesis, si el p-value es inferior a 0.05, rechazaremos la hipotesis nula y por tanto indicaremos que hay fuertes evidencias que el valor medo es inferior a 5. Si el p-value es superior a 0.05, fallaremos en rechar la hipótesis nula y por tanto indicaremos que no hay evidencias fuertes que la media sea inferior a 5.

    El valor obtenido en p ha sido 0.0098,

    Por tanto rechazamos la hipótesis nula, ya que hay evidencias fuertes que la media es inferior a 5.

    Inferencia para la diferencia de medias (Confidence interval)

    Condiciones para poder realizar la inferencia en diferencia de medias

    Chequear que se cumplen las condiciones para inferir

    • Aleatorio
    • Normal o n_1 \geq 30 y n_2 \geq 30
    • Independiente (muestra en ambas poblaciones no debe ser superior al 10%)

    Fórmula para calcular intervalo de confianza para la la diferencia entre las medias

    (\overline{x_1}-\overline{x_2} ) + t · \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}

    Recuerda que \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x_2} } = \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}

    Two-sample t test for difference of means (Prueba t de dos muestras para la diferencia de medias)

    La fórmula para obtener el valor t de la diferencia de dos muestras,

    t = \frac{\overline{x_A}-\overline{x_B}}{\sqrt{\frac{S_A^2}{n_A}+\frac{S_B^2}{n_B}}}

    Si no disponemos de un software para realizar el cálculo para los grados de libertad, usaremos el (valor n más pequeño – 1) o , min((n_A-1),(n_B-1))

  • Inferencia para «Categorical data» (resumen)

    Este es un resumen de la unidad «Inference for categorical data: Proportions» de Khan Academy.

    Confidence Interval

    Aquí un simulador de Intervalos de Confianza

    Condiciones para un Intervalo de Confianza válido (MUY IMPORTANTE):

    • Random Sample: Los datos deben proceder de una muestra aleatoria o de un ensayo aleatorio.
    • Normal condition: La distribución del muestreo ha de ser aproximadamente normal. n\hat{P}\geq 10 y n(1-\hat{P})\geq 10 (ambas probabilidades).
    • Independence condition: Las observaciones individuales deben ser independientes. Si el muestreo es sin reemplazo, el tamaño de nuestra muestra ha de ser n<10\% .

    Para utilizar la fórmula de la desviación estándar de

    σp^=P(1−P)n

    necesitamos que las observaciones individuales sean independientes.

    Si no disponemos de la P global, podemos usar el de la muestra, pero entonces lo llamaremos Error Estandar (Standar Error).

    SE_\hat{P}=\sqrt{\frac{\hat{P}(1-\hat{P})}{n}}

    Valor crítico Z dado el valor de un intérvalo de confianza

    Para cálcular el intervalo de confianza será

    \hat{P}\pm \space (Z \cdot {SE_\hat{P}})

    Donde Z lo obtenemos de la inversa (tabla valor Z) sobre el intérvalo de confianza que queremos obtener.

    Por ejemplo, un CI (Confidence Interval) de 95%, seria el valor Z de 97.5%. Por qué? Mira el video de Khan Academy.

    Yo uso el truquillo de \frac{(100-CI)}{2}+CI

    \frac{(100-95)}{2}+95 = 97.5

    También uso la función de la calculadora Casio, «Dis. n. acum. inv» que me devuelve el valor. O para excel puedes usar «=INV.NORM(0,95;0;1)» (donde 0,95 es el CI).

    Determinar el tamaño mínimo de una muestra en base a un CI y margen de error

    El valor ideal es cuando \hat{P}=0.5 , por tanto si sabemos que queremos un CI de 99% con un margen de error inferior al 2% (por poner une ejemplo). Primero obtendremos la inversa de Z para 99,5% que es 2.576 aprox. A partir de aquí sabemos que:

    Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{P}(1-\hat{P})}{n}} \leq 2\%

    2.576 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{n}} \leq 0.02

    aislamos la n

    \frac{(0.5) \cdot (2.576)} {0.02}\leq \sqrt{n}

    64.4^2 \leq n

    4147 \leq n

    Hipótesis Test

    • Definir H_o y H_a.
    • Fijar un nivel de significancia \alpha = x.xx (puede ser 0.05, 0.10, etc…)
    • Tomar un sample. Recuerda que,
      • Random Sample: Los datos deben proceder de una muestra aleatoria o de un ensayo aleatorio.
      • Normal condition: La distribución del muestreo ha de ser aproximadamente normal. n\hat{P}\geq 10 y n(1-\hat{P})\geq 10 (ambas probabilidades).
      • Independence condition: Las observaciones individuales deben ser independientes. Si el muestreo es sin reemplazo, el tamaño de nuestra muestra ha de ser n<10\%
    • Calcular p-value, a partir de cálcular el valor Z.
      • Z=\frac{\hat{P}-P_o}{\sqrt{\frac{P_o (1-P_o)}{n}}} = \frac{\hat{P}-P_o}{\sigma_\hat{P}}
      • Una vez obtenido el valor Z, obtener el valor % para disponer de p-value.
    • Si p-value < \alpha rechazar H_o a favor de H_a
    • Si p-value \geq \alpha no rechazar H_o, pero eso no significa que la aceptemos.

    Errores potenciales cuando se realizan hypotesis test

    Un error de tipo I es cuando rechazamos una hipótesis nula verdadera. Los valores más bajos de \alpha hacen que sea más difícil rechazar la hipótesis nula, por lo que la elección de valores más bajos para \alpha puede reducir la probabilidad de un error de tipo I. La consecuencia es que si la hipótesis nula es falsa, puede ser más difícil de rechazar utilizando un valor bajo de \alpha. Así que el uso de valores más bajos de \alpha puede aumentar la probabilidad de un error de tipo II.
    Un error de tipo II es cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. Los valores más altos de \alpha facilitan el rechazo de la hipótesis nula, por lo que la elección de valores más altos para \alpha puede reducir la probabilidad de un error de tipo II. La consecuencia aquí es que si la hipótesis nula es verdadera, aumentar \alpha hace más probable que cometamos un error de Tipo I (rechazar una hipótesis nula verdadera).

    p-value\space < \alpha \leftarrow reject Ho
    p-value\space \geq \alpha \leftarrow fail to reject Ho

    H_o TrueH_o False
    reject H_oType I errorcorrect conclusion
    fail to reject H_ocorrect conclusiónType II error
    Info extraida del curso de Khan Academy

    Si \alpha aumenta:

    • Power aumenta
    • Probabilidad de Type I error aumenta

    Intervalos de confianza para la diferencia de dos proporciones

    Recuerda que:

    • Random
    • Distribución normal
    • Independencia de los datos (<10% sin reemplazo)

    Y el truquillo de \frac{(100-CI)}{2}+CI (CI = Intervalo de confianza deseado)

    Entonces, el CI para la diferencia entre dos proporciones es,

    Confidence Interval for P_1 - P_2 =({\hat{P}_1 - \hat{P}_2}) \space\pm \space Z \cdot \sigma_{\hat{P}_1 - \hat{P}_2}

    Donde,

    \sigma_{\hat{P}_1 - \hat{P}_2} = \sqrt{{\frac{\hat{P_1}(1-\hat{P_1})}{n}}+{\frac{\hat{P_2}(1-\hat{P_2})}{n}}}

    Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones

    Los pasos son los mismos que en hipotesis test normal, pero teniendo en cuenta que,

    Z = \frac{\hat{P}_A - \hat{P}_B}{\sigma_{\hat{P}_A - \hat{P}_B}}

    Donde,

        \[\sigma_{\hat{P}_A - \hat{P}_B} = \sqrt{{\frac{\hat{P_C}(1-\hat{P_C})}{n_{A}}}+{\frac{\hat{P_C}(1-\hat{P_C})}{n_{B}}}}\]

    \hat{P}_C es el promedio de las sumas \hat{P}_A y \hat{P}_B (sumar subtotales, dividir por suma de totales).

  • Variables aleatorias discretas «Cheat Sheet»

    Fuente: https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/random-variables-ap

    Valor esperado en una variable aleatoria discreta es el resultado promedio a largo plazo. Donde sumamos los productos del valor por la probabilidad de cada evento.

    $$E(X)=\mu_x=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n$$

    $$=\sum x_i p_i$$

    Pepe vende pollos a l’ast en una bodega, este registra el número de pollos que vende cada día. En la siguiente tabla mostramos la distribución de probabilidad de P=pollos vendidos en un día seleccionado aleatoriamente.

    P=#pollos vendidos0102030
    Probabilidad0.30.50.150.05

    Calcular la media de P.

    $$\mu_P=(0·0.3)+(10·0.5)+(20·0.15)+(30·0.05)=9.5\space pollos$$

    La desviación estandar nos indica cuanto varía cada resultado de la media.

    $$Var(X)=\sigma ^2_X$$

    $$=(x_1-\mu_x)^2p_1+(x_2-\mu_x)^2p_2+…+(x_n-\mu_x)^2p_n$$

    $$=\sum (x_i- \mu _x)^2 p_i$$

    Vamos a calcular la desviación estándar de los pollos

    $$\sigma_P = \sqrt{(0-9.5)^2·0.3+(10-9.5)^2·0.5+(20-9.5)^2·0.15+(30-9.5)^2·0.05 }= \sqrt{64.75} \approx 8.04$$

    Calcular las probabilidades a partir de curvas de densidad:

    $$Z = \frac {(X-\mu)}{\sigma}$$

    Para obtener el valor estadístico, aplicar tabla Z.

    Combinar variables aleatorias normalizadas

    Si tenemos dos variables que son idependientes entre ellas, entonces podemos combinarlas para crear nuevas distribuciones que combinadas facilitan el cálculo estadístico. Vamos al ejemplo,

    MediaVarianza
    Suma: $$T=X+YT$$$$\mu_T=\mu_X + \mu_Y​$$$$\sigma^2_T=\sigma^2_X + \sigma^2_Y$$​
    Diferencia: $$T=X-YT$$$$\mu_T=\mu_X – \mu_Y​$$$$\sigma^2_T=\sigma^2_X + \sigma^2_Y$$​

    Manolo vende pepinos en paquetes de 4. Las masas individuales de cada pepino son normalizadas con una media de 175g, y una desviación estandar de 15g. Asumiendo que los pesos de los pepinos son independientes entre ellos.

    Siendo T = a 4 pepinos seleccionados aleatoriamente.

    Encuentra la probabilidad que el peso total de los pepinos sea superior a 685g.

    $$P(T<685)≈$$

    Calculamos la media de T que es el peso de 4 pepinos de 175g = 700.

    Calculamos la desviación estándard T, que será $$\sqrt{15^2+15^2+15^2+15^2} = 30$$

    Calculamos Z, $$Z= \frac{(685-700)}{30}=-0,5$$

    Buscamos valor en la tabla Z y nos da 0.30854, que es un 30,80% de probabilidades.

    Este ejemplo recoge el caso cuando la densidad es «< que». Cuando la densidad es «> que», hemos de restar 1, cuando está entre dos valores, hemos de calcular la diferencia.

  • Z-table — Tabla Z

    A continuación muestro una tabla Z para que puedas hacer la consulta de valores. Debajo de la tabla encontrarás un enlace para descargar la tabla en formato PDF. Si no sabes cómo usar la tabla Z, hay múltiples tutoriales por internet.

    Z 0,00 -0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05 -0,06 -0,07 -0,08 -0,09
    -3.9 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003
    -3.8 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005
    -3.7 0.00011 0.0001 0.0001 0.0001 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008
    -3.6 0.00016 0.00015 0.00015 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011
    -3.5 0.00023 0.00022 0.00022 0.00021 0.0002 0.00019 0.00019 0.00018 0.00017 0.00017
    -3.4 0.00034 0.00032 0.00031 0.0003 0.00029 0.00028 0.00027 0.00026 0.00025 0.00024
    -3.3 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.00042 0.0004 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035
    -3.2 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.0006 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.0005
    -3.1 0.00097 0.00094 0.0009 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071
    -3 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.001
    -2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139
    -2.8 0.00256 0.00248 0.0024 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193
    -2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.0028 0.00272 0.00264
    -2.6 0.00466 0.00453 0.0044 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357
    -2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.0057 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.0048
    -2.4 0.0082 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639
    -2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.0099 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842
    -2.2 0.0139 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.0116 0.0113 0.01101
    -2.1 0.01786 0.01743 0.017 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.015 0.01463 0.01426
    -2 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.0197 0.01923 0.01876 0.01831
    -1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.0268 0.02619 0.02559 0.025 0.02442 0.02385 0.0233
    -1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938
    -1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.0392 0.03836 0.03754 0.03673
    -1.6 0.0548 0.0537 0.05262 0.05155 0.0505 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551
    -1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592
    -1.4 0.08076 0.07927 0.0778 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811
    -1.3 0.0968 0.0951 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226
    -1.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853
    -1.1 0.13567 0.1335 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.121 0.119 0.11702
    -1 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786
    -0.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109
    -0.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673
    -0.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.2327 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.2177 0.21476
    -0.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.2451
    -0.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.2946 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.2776
    -0.4 0.34458 0.3409 0.33724 0.3336 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207
    -0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.3707 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827
    -0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591
    -0.1 0.46017 0.4562 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465
    0 0.5 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.4721 0.46812 0.46414

     

    Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
    0 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586
    0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
    0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
    0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
    0.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
    0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.7224
    0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.7549
    0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.78524
    0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
    0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
    1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
    1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.88298
    1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
    1.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
    1.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
    1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
    1.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
    1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.96327
    1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
    1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.9767
    2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169
    2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.98574
    2.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.98899
    2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
    2.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
    2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.9952
    2.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
    2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.99736
    2.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
    2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
    3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999
    3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
    3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.9995
    3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965
    3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976
    3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983
    3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989
    3.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992
    3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995
    3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997

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  • Conceptos básicos estadística

    Tipos de datos

    • Variables Cuantitativas: Una variable cuantitativa es simplemente una cantidad cuantificable numérica en la que las operaciones aritméticas a menudo tienen sentido. Clasificamos en dos tipos:
      • Variable cuantitativa continua (Quantitative Continuous): Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo y puede tener muchos valores posibles. Por ejemplo medir la massa corporal de una población, o el tiempo que lleva ir de un punto a otro, el tiempo de espera en una cola, etc…
      • Variable cuantitativa discreta (Quantitative Discrete): Conjunto finito de números contables. Por ejemplo número de alumnos en una clase.
    • Variable Categórica (o cuantitativa): Clasifica a los individuos o artículos en diferentes grupos. Clasificamos en dos tipos:
      • Variable categórica ordinal (Categorical Ordinal): De ordinal, orden, es decir clasifica en función de un orden. Simplemente tiene algún tipo de orden o clasificación asociada a ella. Por ejemplo, los cursos de universidad, primero, segundo, tercero, etc…
      • Variable categórica nominal (Categorical Nominal). Que nombran pero no ordenan. Por ejemplo, païses, raza, sexo, etc…

    Pregunta:

    La edad de los individuos de una población que tipo de data es?
    Cuantitativa continua.

    Si clasificamos por mayores de edad (>18) marcando como 0 no y 1 sí, que tipode dato es?
    Categórica nominal

    Mejores herramientas para representar tipos de datos

    Datos categóricos (categorical data):

    • Gráficos de barras (verticales, horizontales)
    • Tablas de frecuencia de datos.
      • Datos absolutos: representando por el valor numérico
      • Datos relativos: representado por % vs el total.

    Datos cuantitativos (cuantitative data):

    • Histogramas
      • Forma del histograma (shape)
      • Centro o punto medio del histograma (center)
      • Rango de datos (min-maximo)
      • Valores atípicos (outlier)